Funcția de distribuție de probabilitate

Definiția. Chemat variabilă aleatoare continuă, care își poate asuma toate valorile dintr-un interval finit sau infinit.

Pentru variabila aleatoare continuă introduce funcția de distribuție concept.

distribuție Opredelenie.Funktsiey Hnazyvayut funcție variabilă aleatoare F (x), determinarea pentru fiecare valoare x probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea x minimă, adică

De multe ori, în loc de „funcția de distribuție“, termenul folosit termenul „funcția de distribuție cumulativă“.

Proprietățile funcției de distribuție:

1. Valorile funcției de distribuție aparțin intervalului [0; 1]:

0 ≤ F (x) ≤ 1.

2. Funcția de distribuție este o funcție nondecreasing, care este,

apoi F (x) ≥ F (x).

3. Probabilitatea ca o variabilă aleatoare are o valoare în intervalul [a; b), egală cu o creștere a funcției de distribuție în acest interval:

P (a ≤ X

4. Probabilitatea ca continuu variabila aleatoare X are o valoare specifică este zero:

5. Dacă valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin intervalului (a, b), atunci

F (x) = 0 pentru x ≤ a;

F (x) = 1 pentru x ≥ b.

6. În cazul în care valorile posibile ale unei variabile continue de-a lungul axei situate Ox, apoi următoarele relații limită:

Definiția. distribuția densității variabile aleatoare continue numita prima derivată a funcției de distribuție:

De multe ori, în locul termenului „densitate de probabilitate“ este folosit termenul de „densitate de probabilitate“ și „funcție diferențială“.

Proprietăți de densitate de probabilitate:

1. Densitatea de distribuție nenegativ oriunde Ox:

f (x) ≥0 pentru x (- ∞ + ∞).

2. Probabilitatea ca continuu variabila aleatoare X ia valoarea aparținând intervalului (a, b), este definit prin:

3. Cunoscând distribuția densității, puteți găsi funcția de distribuție:

4. integrală improprie a distribuției densității în intervalul de la -∞ la + ∞ este egal cu unu:

5. Dacă toate valorile posibile ale variabilei aleatoare aparțin intervalului (a, b), atunci

Opredelenie.Matematicheskoe așteptare continuă variabila aleatoare X, care aparțin valorilor posibile pe parcursul Ox, definită de ecuația

unde f (x) - distribuția densității X. variabilei aleatoare

Se presupune că integrala converge absolut. În special, în cazul în care toate valorile posibile aparțin intervalului (a, b), atunci

Așteptările are următoarele proprietăți:

1. Așteptarea o valoare constantă egală cu cea mai constanta:

2. speranța matematică a sumei variabilelor aleatoare este suma termenilor așteptărilor:

3. Un factor constant poate fi luat ca un semn al așteptărilor:

4. speranța matematică a produsului de variabile aleatoare independente reciproc este produsul așteptările factorilor:

Determinarea .Dispersiya continuu variabila aleatoare X, valori posibile care aparțin tuturor axa Ox este determinată de ecuația:

Ca și în cazul unei variabile aleatoare discrete, se poate demonstra că

În special, în cazul în care toate valorile posibile ale X aparțin intervalului (a, b), atunci

Dispersia are următoarele proprietăți:

1. constanta de dispersie este egal cu zero:

2. Un factor constant poate fi luat ca un semn de dispersie, acesta pătrat anterior:

3. Dispersia suma variabilelor aleatoare independente este egală cu suma variațiilor de termeni:

4. Dispersia produse de variabile aleatoare independente este produsul a varianței factorilor:

Suma 5. Dispersia unei constante și independentă a variabilei aleatoare este egală cu pătratul varianței variabilei aleatoare constantă independentă:

Exemplu. Dana Funcția de distribuție continuă a variabilei aleatoare X

4. așteptarea M (X)

6. deviație standard # 963;,

7. P (X <–2), P( ≤ Х <1) P(Х ≥ ).

vom găsi derivați ai fiecărei funcții care constituie funcția F (x):

Atunci vom obține funcția f (x):

3. Pentru a construi graficul f (x) densitate

Fig. 3. Program o densitate f (x).

Rețineți că atunci când x = 0, derivatul F „(x) nu există.

4. Găsiți așteptarea continuă variabila aleatoare X:

5. Pentru a găsi variația continuă a variabilei aleatoare X, vom găsi speranța matematică a unei variabile aleatoare X:

Dispersia a fost găsită de formula:

D (X) = M (x) - M (X) = 2 # 9472; = 2 # 9472; 1,78 = 0,22.

6. deviație standard # 963; găsim următoarea formulă:

7. Să ne găsim probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea în intervalul (-; - 2), adică P (X<– 2):

P (X<– 2) = F(– 2) = 0,

În al doilea rând, probabilitatea P (≤ X <1) найдём по формуле Р(a ≤ Х

De la eveniment, și invers, probabilitatea unui eveniment este dată de:

P = 1 P = 1 F = 1.