tema 1

Valorile maxime și minime ale funcției. Un algoritm pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue la interval.

Termeni-cheie: cea mai mare valoare cea mai mică valoare a funcției, punctul de staționare, punctul critic.

Se spune că funcția. definite pe intervalul. aceasta ajunge la cea mai mare valoarea sa (cea mai mică), în cazul în care există un punct. aparținând acestui interval, astfel încât, pentru toată inegalitatea.

O funcție continuă pe intervalul, acesta ajunge la maxim și valorile minime.

Cea mai mare valoare și cea mai mică m valoarea M funcțiilor continue pot fi realizate atât în ​​cadrul segmentului, iar la capetele sale. În cazul în care cea mai mare (mai mică), valoarea funcției ajunge la un punct în interiorul segmentului, acest punct este un extremum.

Un algoritm pentru a găsi cele mai mari și cele mai mici valori ale unei funcții continue la intervalul:

2. Găsiți punctul în care fie nu există, și alege cele care se află în interiorul segmentului;

3. calculează valorile punctelor obținute în etapa 2 și la punctele finale și să aleagă cea mai mare și cea mai mică; acestea sunt, respectiv, cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției pe intervalul. care poate fi descrisă după cum urmează :. .

Atunci când sarcina de a găsi. Continuă asupra funcției. este rezolvată prin aceeași regulă, că problema corespunzătoare pentru intervalul. Diferența: a treia fază în loc de calculul valorilor funcției de la punctele finale sunt funcție limite atunci când se apropie capetele intervalului.

Uneori, în scopul de a găsi cele mai mari sau mai mici valori ale unei funcții continue pe intervalul util în două situații:

1. în cazul în care funcția este în intervalul X este doar un singur punct de extremă. Mai mult decât atât, acest punct de mare, apoi - cea mai mare valoare a intervalului X;

2. În cazul în care funcția este în intervalul X este doar un singur punct de extremă. Și acest punct minim, apoi - cea mai mică valoare a funcției pe intervalul x.

Exemplul 1. Pentru a investiga funcția cel mai mare și cea mai mică valoare a lui X la un interval predeterminat.

Decizie. Funcția de studiu derivabile este continuă pe segmentul, asa

1. Să ne găsim derivatul :.

2. Găsim punctele de staționare (în care derivatul este zero).

Punctul - punctul unei posibile extreme. În același timp. .

3. Să ne găsim valorile funcției în punctul și la punctele finale și să aleagă între ele, cele mai mari și cele mai mici valori. Din moment. . atunci. .

Exemplul 2. Găsiți cea mai mare valoare a funcției.

1. Să ne găsim derivata funcției :.

2. Găsim punctele staționare :. Punctul - instrumentul derivat nu există, cu toate acestea. Astfel, pe un set dat există un punct unic de pe extrema suspecte.

3. Pentru a crea un tabel:

Vedem că - punctul funcției maxime. Deoarece - singurul punct de mare, atunci.

1) Pentru a investiga funcția la valorile maxime și minime în acest interval:

2) Găsiți un grafic punct al funcției. suma distanțelor de la care la axa Y și să direcționeze cel mai mic.

3) Din necesitatea de a reduce în jos un piedestal de granit, sub forma unui paralelipiped, înălțimea pe care trebuie să fie egală cu diagonala bazei, iar suprafața de bază - 4 mp Pentru care valorile de laturi ale suprafeței de bază a celui mai mic piedestal.

4) Se determină valoarea unui astfel încât suma pătratelor rădăcinilor trinomul a fost cel mai mic.

5) toate valorile unui decalaj. la fiecare dintre care rădăcina mai mare a ecuației ia cea mai mare valoare.

întrebări de testare pe 1:

1. Ce se înțelege prin cea mai mică valoare a funcției?.

2. Ce se înțelege prin cea mai mare valoare a funcției?

3. În ce puncte ale funcției intervalului se poate face cea mai bună valoare?

4. Ce este algoritm diferit pentru identificarea valorilor optime ale intervalului algoritmului pentru identificarea valorilor optime ale funcției la intervalul?

extremum Subiect 2.Lokalny funcțiilor de mai multe variabile. Valorile maxime și minime ale funcției într-o regiune închisă mărginită. constrâns de optimizare

Conceptul de extremelor locale a unei funcții de mai multe variabile. Condițiile necesare și suficiente pentru a extremelor locale. O condiție suficientă pentru o funcție extremelor locale a două variabile. Algoritmul de căutare maxime și valorile minime ale unei funcții în zona ogranichennoyzamknutoy. Constrâns de optimizare. metoda multiplicatorului Lagrange.

Principalii termeni: un minim local, un punct de maxim local, forma pătratică a doua ordine diferențial, un condiționale ecuații extremum constrângere, funcția Lagrange.

1) Considerăm funcția. definite pe platoul de filmare.

1. Determinarea punctul numit punctul de a extremelor locale. dacă

Definiția implică faptul că incrementarea funcției nu se schimbă semnul în vecinătatea unui extremum dacă. apoi la un maxim, în cazul în care - cel puțin.

Teorema 1 (o condiție necesară pentru o extremelor locale). Fie funcția are punct de extrem local. În cazul în care ea a avut în acel moment derivatele parțiale, ele sunt egale cu zero.

2. Determinarea punctului în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi sunt zero, numite staționare.

3. Determinarea punctului în care toate derivatele parțiale de ordinul întâi egale cu zero, sau cel puțin unul dintre aceste derivate parțiale nu există se numește critică.

Notă 1. Funcția este diferențiabilă la un punct staționar, are o diferență egală cu zero. Converse este de asemenea adevărat: diferențial dispariție la un moment dat să fie stationaritate acest punct.

Teorema 2. Observație Condiția 1 nu este suficientă. Luați în considerare funcția. Punctul este fixat pentru această funcție, deoarece în acest moment, atât a derivatelor sale parțiale ale primului ordin și zero. Cu toate acestea, nu va fi un punct de extremum. Într-adevăr ,. dar în fiecare cartier al punctului este punctul în care funcția ia valori pozitive și punctul în care funcția are o valoare negativă. Acest lucru este ușor de văzut, dacă vom construi un grafic al funcției - paraboloid hiperbolic.

Teorema 2 (o condiție suficientă pentru un extremum local). Fie funcția u (x) este de două ori derivabila un punct staționar. Dacă al doilea diferențial în acest moment există o formă pătratică-un semn clar al diferențialelor ale variabilelor independente, funcția are o extremă: maxim, în cazul în care cel puțin și dacă.

Pentru o funcție de două variabile condiții suficiente pentru cele mai convenabile dă următoarea versiune a acestei teoreme:

Teorema 2 (condiție suficientă pentru o extremum locală a funcției de două variabile). Să - punct critic într-un cartier al funcției punct are derivate partiale continue până la ordinul al doilea. denota

1) în cazul în care. atunci punctul nu este un punct de extremum;

2) în cazul în care. apoi indicați funcția are un minim;

3) în cazul în care. apoi indicați funcția are un maxim;

4) în cazul în care. atunci nici o concluzie cu privire la punctul critic nu se poate face, și este nevoie de mai multe cercetări.

Exemplu. Găsiți extremele funcției:

Decizie. 1) Funcția definită pretutindeni. Sale derivate parțiale de ordinul întâi și, de asemenea, există peste tot. Rezolvarea sistemului de ecuații. Am găsit două puncte critice și.

Pentru a studia punctele critice aplica Teorema 2. Avem

Prin urmare, la punctul de funcția are un minim, adică.

Vom examina punctul critic:

În consecință, al doilea punct critic nu este un punct de extremum a funcției.

2) Funcția definită pretutindeni. Sale derivate parțiale de ordinul întâi și, de asemenea, există peste tot. Rezolvarea sistemului de ecuații. Am găsit un singur punct critic.

Pentru a investiga punctul critic încercarea de a aplica Teorema 2. Avem

Stabilirea prezența sau absența extremum la punctul cu ajutorul teoremei 2 nu a reușit.

Noi examinăm semnul incrementarea funcției la:

În cazul în care. atunci; în cazul în care. atunci. Pentru că nu păstrează semnul în cartier. apoi la acest punct funcția nu are nici o extremă.

2) algoritm de căutare este cel mai mare și mai mici valori ale funcției în câmpul ogranichennoyzamknutoy reduce la soluția de trei sarcini:

1. Determinarea punctelor staționare în interiorul regiunii.

2. Determinarea punctelor staționare pe granița.

3. Selectați valorile minime ale funcției de la aceste puncte de maxim și.

Luați în considerare exemplul unei sarcini, în funcție de două variabile. Să presupunem că vrem să găsim valorile maxime și minime ale funcției z = f (x, y), definit în zona închisă cu limita. fie.

2. Să se rezolve ecuația. sau.

3. Selectați valorile maxime și minime ale funcției la punctele obținute.

1. Punct fix (0, y). (Extremum Fuzzy).

3) O optimizare constrânsă. Luați în considerare funcția

cu condiția ca argumentele sale nu sunt variabile independente, și sunt legate de:

Aceste rapoarte sunt numite termeni de comunicare. (Funcția de economie și poartă numele de țintă, și ecuațiile de constrângere - restricții). Lăsați coordonatele punctelor satisfac ecuațiile (2).

Definiția. Funcția (1) are la punctul de minim relativ (maxim), în condițiile de comunicare (2), în cazul în care există un punct de cartier. că pentru orice punct () din acest cartier ale căror coordonate satisfac ecuațiile (2), următoarea inegalitate.

Cu alte cuvinte, valoarea maximă condiționată (minim) - este cea mai mare (mai mică), valoarea funcției în punctul de nici o legătură cu toate punctele de un punct de cartier. ci numai aceia dintre ei care sunt interconectate condiții de comunicare.

Problema caracteristici extreme condiționate pot fi rezolvate prin eliminarea variabilelor. Această metodă constă în faptul că ecuațiile condițiilor variabile de comunicare exprimate în termenii celorlalte variabile (dacă este posibil), înlocui variabilele găsite în funcție și de a rezolva problema extremum variabilelor funcției.

Exemplu. Prin excluderea variabilelor pentru a găsi extremum funcției în condiții de comunicare

Decizie. Din conexiunea condiții găsi. Substituind funcția, vom ajunge la funcțiile de o singură variabilă. . pentru care considerăm problema extremelor necondiționat. De când. funcția are un singur punct de posibile extreme. Deoarece punctul funcția are o valoare minimă. Deoarece condițiile de comunicare găsi valori corespunzătoare. . Astfel, funcția în condiții de comunicare specificate este la punctul (-1,1,0), cel puțin, cu

Metoda Lagrange. Problema funcției extremum condiționate (1) sub rezerva (2) este echivalent cu un Lagrangiene extremum obișnuit

(- numita multiplicatorilor lui Lagrange.

Condițiile necesare pentru o extremum condiționată

exprimată în sistemul de ecuații:

relativ necunoscut. Dacă - o soluție de (3), este posibilă funcția punctul extremum (1) sub rezerva (2).

condiții suficiente pentru optimizare constrânsă asociat cu studiul semnului celui de al doilea diferențial al Lagrangianului

Valorile pentru fiecare sistem. obținut de la (3), cu mențiunea că satisfac ecuațiile

Funcția este maximă condiționată la punctul. în cazul în care, pentru toate valorile posibile. care îndeplinesc următoarele condiții (4) și are o conexiune minimă prevăzută cu condiția să nu atât egal cu zero, următoarea inegalitate (forma pătratice definite negativ) și minimul relativ, în cazul în care aceste condiții (forma pătratică este pozitiv definită) la funcția punctul (1) (2) dacă - alternativ formă pătratică, apoi la funcția (1) nu

Metoda Exemplul 1. Lagrange pentru a găsi o funcție extremum, atunci când condițiile de comunicare

Decizie. Noi forma Lagrangianului

și ia în considerare sistemul de ecuații

Ea are o soluție unică, care este - singurul punct de posibile extreme ale unei funcții la o condiții de comunicare specificate. Calculăm a doua funcție diferențială Lagrange și înlocuindu-i. găsit legături din prima comunicare a ecuației, obținem o formă pătratică pozitiv definită de variabilă la. Din aceasta rezultă că în condițiile date se datorează în punctul de minim relativ.

Exemplul 2. Pe elipsoid pentru a găsi un punct care este cel mai îndepărtat de punctul (0,0,3).

Decizie. Distanța dintre punctele și (0,0,3) este definit de către revendicări. Prin urmare, problema originală este echivalentă cu problema de legături maxime condiționate de funcții oferite. Noi forma Lagrangianului

și ia în considerare sistemul de ecuații:

Deoarece cele mai multe elipsoid alungit de-a lungul unei axe. abscisa punctului dorit nu poate fi zero, adică. Prin urmare, din prima ecuație, rezultă că. Apoi, din a doua și a treia ecuațiile sistemului avem de ultima ecuație a sistemului este, prin urmare, funcția are două puncte ale unei posibile extreme. Din ecuația de constrângere obținem. de acum vom calcula al doilea diferențial Lagrangiene

Înlocuim. coordonatele punctului și exprimare. este forma pătratică definită negativ în două variabile. . Rezultă că funcția are un maximum de puncte condiționate pentru condițiile de comunicare date, și anume pe elipsoid există două puncte cele mai îndepărtate din punctul (0,0,3).

Notă. Evident, problema extremelor condiționată și de a găsi cele mai mari și cele mai mici valori în zona închisă delimitată strâns legate.

Astfel, T P1 - minimum .; T în P2 -. max.

Notă. În această problemă, al doilea diferențial este întotdeauna semn formă pătratică constantă în relația dintre, prin urmare, diferențele:

nu este utilizat în condiție suficientă pentru studiu. Cu toate acestea, în cazul alternativ numitul al doilea raport diferențialului trebuie să fie luate în considerare.

2) un formular semnat nr extremelor.

(Rețineți că nici o relație dy = 2xdx + dz formă pătratică în primul caz va fi alternativ).

întrebări de testare pe tema 2:

1. Dă conceptul de extremelor locale a unei funcții de mai multe variabile.

2. Identificarea condițiilor necesare pentru o extremelor locale.

3. Identificarea condiții suficiente pentru ca un extremelor locale.

4. Care sunt principalele etape ale căutării pentru cele mai mari și cele mai mici valori ale funcției în zona ogranichennoyzamknutoy.

5. Ce se înțelege prin extremelor condiționată?