Condițiile necesare și suficiente pentru convergența unei serii
- Toate operațiunile matematice exprimate în termeni de simboluri convenționale (+, -, *, /, ^). De exemplu, 4 n. scris ca 4 ^ n.
- Numărul π ≡ pi. pătrat √ rădăcină ≡ sqrt. De exemplu, sqrt (n ^ 2 + n), e n = exp (n)
Luați în considerare patru criterii suficiente pentru convergența unei serii.
1. Simptom d'Alembert.
În cazul în care, atunci
la q = 1 obținem incertitudinea.
2. Testul rădăcină.
în cazul în care,
la q = 1 obținem incertitudinea.
3. O caracteristică integrantă a Cauchy.
Dacă există, atunci seria converge; în cazul în care nu există integral (adică egală cu ± ∞ ..) - divergenta.
4. Testul de comparație.
În cazul în care converge și vzg ≤ ONU. converge, de asemenea, în cazul în care și diverge vzg ≥ onu. De asemenea, ea diverge.
Pentru testul de comparație ca o serie este adesea folosit care, A - este o valoare constantă arbitrară; și.
Exemplul 1. Pentru a investiga numărul de convergență.
soluţie:
Vom aplica testul d'Alembert lui:
; ;
seria converge.
Exemplul 2. Seriile de testare pentru convergență.
soluţie:
Se aplică testul de rădăcină:
seria converge.
Notă: se calculează după cum urmează: de la numărătorul și numitorul fracției puteri mai mari n variabile egale, atunci vom scrie coeficienții n 2, respectiv, de la numărătorul și numitorul.
Exemplul 3. Pentru a investiga numărul de convergență.
soluţie:
Vom aplica testul integrale Cauchy:
, întrucât integrala nu există, atunci seria este divergenta.
Exemplul 4. Pentru a investiga numărul de convergență.
soluţie:
Comparați numărul cu care converge, deoarece gradul n a a variabilei. α = 2> 1. în acest caz, prin urmare, seria converge.