Curbele de ordinul al doilea

Teorema. Pentru fiecare curbă există un sistem de coordonate dreptunghiular, în care are una dintre următoarele (numite ecuațiile canonice):

Dovada. Pentru a dovedi show rezultat cum ecuația generală (4) curba la o formă canonică.

Lema. In mod adecvat, rotația axelor de coordonate se poate realiza că 12 = 0 = 0>. Barcode înseamnă coeficientul de ecuații în noul sistem de coordonate.

Dovada (Lema). Dacă o 12 = 0 = 0>. rotație nu este necesară. În caz contrar, ia în considerare o rotație arbitrară

'(Y F. X' ') = F (x (x' .. Y ') Y (x.' Y ')) = = a 11 (cos φ x ⁡' - y păcat ⁡ φ „) 2 + 2 un 12 (cos ⁡ φ x '- păcat ⁡ φ y') (sin ⁡ φ x '+ cos ⁡ φ y') + a 22 (sin ⁡ φ x '+ cos ⁡ φ y') 2 + 2 1 ( cos ⁡ φ x '- păcat ⁡ φ y') + 2a 2 (sin ⁡ φ x '+ cos ⁡ φ y') + a 0 F '(x', y ') = F \ stânga (x (x' , y '), y (x', y ') \ dreapta) = \\ = o _ (\ cos \ varphi x' - \ păcat \ varphi y ') ^ + 2a _ (\ cos \ varphi x' - \ păcatul \ varphi y ') (\ păcatul \ varphi x' + \ cos \ varphi y ') + un _ (\ păcat \ varphi x' + \ cos \ varphi y ') ^ + 2a _ (\ cos \ varphi x' - \ păcatul \ varphi y ') + 2a _ (\ păcat \ varphi x' + \ cos \ varphi y „) + a_ \ end >>

După console de expansiune și de reducere termeni similari poate fi găsit coeficient de 2 x „y“. adică, un 12 „>:

o 12 „= - a 11 cos ⁡ φ păcat ⁡ φ + o 12 (cos 2 ⁡ φ - păcatul 2 ⁡ φ) + o 22 cos ⁡ φ păcat ⁡ φ = (a 22 - un păcat 11 ⁡ 2 φ 2 + o 12 cos ⁡ 2 φ = -a_ \ cos \ varphi păcat \ varphi \ + o _ (\ cos ^ \ varphi - \ păcat ^ \ varphi) + a_ \ cos \ varphi păcat \ varphi \ = (a_-a> + a_ \ cos 2 \ varphi>

Ne întoarcem la demonstrația teoremei. În conformitate cu ultima Lema orice ecuație de ordinul doi poate fi redusă la una dintre cele trei cazuri menționate. Să luăm în considerare fiecare dintre ele

Invarianți polinomului de gradul al doilea în drept

invariant ortogonal este o funcție de coeficienții polinomului F. care nu se schimbă în timpul tranziției de la un sistem de coordonate cartezian la altul.

invarianți ortogonali sunt următoarele trei funcții:

polinom caracteristic este un polinom = χ | [A 11 - λ a 12 a 12 a 22 - λ] | un _- \ lambda \ o _ \\ a_ \ o _- \ lambda \ end> ​​\ dreapta |>. Se poate arăta că χ = λ 2 - S λ + δ -S \ lambda + \ delta>.

În demonstrația teoremei privind reducerea la forma canonica sa demonstrat că orice ecuație de ordinul al doilea poate conduce la una din cele trei tipuri. Deoarece aplicat numai la transformarea ortogonală, invariante sunt conservate. Invarianți un tabel de valori pentru diferite tipuri: