densitate de probabilitate
variabile aleatoare continue poate fi definit nu numai prin funcția de distribuție. Noi introducem conceptul de probabilitate densitate continuă a unei variabile aleatoare.
Luați în considerare probabilitatea de a obține o variabilă aleatoare continuă pe intervalul [x. x + # 916; s]. Probabilitatea unui astfel de eveniment
și anume egală cu creșterea funcției de distribuție F (x), în acest domeniu. Probabilitatea pe unitatea de lungime, și anume, densitate medie probabilitate în zona de la x la x + # 916; s. este
Trecerea la limita # 916; x → 0, obținem densitatea de probabilitate la x:
reprezentând derivata funcției de distribuție F (x). Să ne amintim că (x) pentru un F aleatoare continuu variabilă - funcția diferențiabilă.
Definiția. Densitatea de probabilitate (distribuția densității) f (x) continuu variabilă aleatoare X este derivata funcției sale de distribuție
Despre variabila aleatoare X se spune că are o densitate de distributie f (x), la o anumită parte a axei abscisă.
Densitatea de probabilitate f (x), ca o funcție de distribuție F (x) este o formă de distribuție. Dar, în contrast cu funcția de distribuție, ea există numai pentru variabile aleatoare continue.
Funcția de densitate de probabilitate este uneori numită diferențială sau legea diferențială de distribuție. Graficul curbei de distribuție a densității de probabilitate se numește.
Exemplul 4.4. Exemplul 4.3 Conform găsi densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare X.
Decizie. Gasim densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare ca un derivat al acesteia funcției de distribuție f (x) = F „(x).
Notă densitate de probabilitate proprietăți variabile aleatoare continue.
probabilitate 1.Plotnost - funcția negativă. și anume
ca derivat al unei funcții F nondecreasing uniform (x).
2.Veroyatnost pătrunderea continuă variabilă aleatoare X în intervalul [# 945; . # 946; ] Este parte integrantă certă a densității sale de probabilitate în intervalul # 945; la # 946;. și anume
probabilitate Geometric de a cădea în intervalul [# 945; . # 946; ] Este egală cu suprafața figurii delimitată de partea superioară a curbei de distribuție și se bazează pe intervalul [# 945; . # 946; ] (Fig.4.4).
distribuția 3.Funktsiya continuă a variabilei aleatoare poate fi exprimată în termeni de densitate de probabilitate în conformitate cu formula:
Geometric, funcția de distribuție este forma pătrată, curba de distribuție mărginită de mai sus și situată la stânga lui x (fig. 4.5).
4.Nesobstvenny limite infinite integrale ale densității de probabilitate variabilă aleatoare continuă este egal cu unu:
Proprietățile Geometric 1 și 4, o densitate de probabilitate înseamnă că graficul ei - curba de distribuție - nu este sub abscisa, iar suprafața totală a figurii delimitată de curba de distribuție și axa orizontală este egală cu unitatea.
Exemplul 4.5. Funcția f (x) este definit ca:
Găsiți: a) valoarea lui A; b) exprimarea funcției de distribuție F (x); c) Probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea în intervalul [0; 1].
Decizie. a) f (x) are o funcție a densității de probabilitate a variabilei aleatoare X. Trebuie să fie non-negativ, prin urmare, trebuie să fie negativă, iar valoarea A. Având în vedere proprietățile de 4 găsim:
b) funcțiile de distribuție utilizează proprietatea 3:
Dacă x ≤ 0, atunci f (x) = 0, și, prin urmare, F (x) = 0.
Când 0 Dacă x> 2, atunci f (x) = 0 și în consecință c) Probabilitatea ca variabila aleatoare X ia valoarea în intervalul [0; 1], vom găsi, folosind proprietatea 2: