Forma canonică a unei a doua curbă de ordin

Ecuația de ordinul a formularului

Aceasta definește o curbă plană. Un grup de membri ai numit-o formă pătratică, - o formă liniară. În cazul în care forma pătratică a pătratelor conțin doar variabile, o astfel de concepție este numită canonice și ortonormate vectorii săi de bază în care forma pătratică are o formă canonică, numită axele principale ale formei pătratice.






Matricea este numită matricea formei pătratice. Aici. Pentru matricea formei diagonal, cu baza necesară pentru a lua vectorii proprii ale acestei matrice, atunci unde # 955; 1 și # 955; 2 - valorile proprii ale lui B.
În baza vectorilor proprii ale formularului pătratice B va avea o formă canonică.
Această operațiune corespunde unei rotație a axelor de coordonate. În continuare, trecerea de origine, astfel a scăpa de formă liniară.
Forma canonică a unei a doua curbă de ordin, în care:
a) în cazul în care # 955; 1> 0; # 955; 2> 0 - elipsă, în special, la # 955; 1 = # 955; 2 este un cerc;
b) dacă # 955; 1> 0, # 955; 2 <0 (λ1 <0, λ2>0) avem o hiperbolă;
c) dacă # 955; 1 = 0 sau # 955; 2 = 0, curba este o parabolă și după axele de rotație ale formei (aici # 955; 2 = 0). Completând la pătrat plin, avem :.

Exemplu. Dată fiind ecuația curbei
într-un sistem de coordonate (0, i, j), unde.
1. Se determină tipul curbei.
2. Pentru a aduce ecuatia la forma canonică și construi o curbă în sistemul de coordonate original.
3. Găsiți transformarea corespunzătoare de coordonate.

Decizie. Aici este forma pătratică B = 3x 2 + 10xy + 3y 2 la axele principale, adică la forma canonică. Matricea acestei forme pătratice. Ne găsim valorile proprii și vectorii proprii ale acestei matrici:

Caracteristica ecuația:
; # 955; 1 = -2 # 955; 2 = 8. formă pătratică :.
Ecuația inițială definește hiperbolă.
Rețineți că forma pătratică este ambiguă. Poate fi scris, cu toate acestea, tipul de curba a rămas aceeași - o hiperbolă.
Este axa principală a formei pătratice, adică, vectorii proprii de B ..
Eigenvector corespunzătoare numărului # 955; = - 2 când x1 = 1 :.






Ca un singur vector eigenvector accepta, în cazul în care - lungimea vectorului.
Coordonate doua eigenvector care corespunde celui de al doilea eigenvalue # 955; = 8, vom găsi din sistem
.
; .
Deci, avem o nouă bază ortonormală.
Prin (5) de la punctul 4.3.3. trece la o nouă bază:
sau

Facem expresii ale lui x și y în ecuația originală și, după transformări obținem :.
Selectați pătratele perfecte. .
Desenați axe paralele de traducere în noul început :.
Dacă face aceste relații în (*) și permite acestor ecuații în ceea ce privește x2 și y2. obținem :. In acest sistem de coordonate, ecuația este de forma :.
Pentru a stabili curba în vechi construirea unui nou sistem de coordonate: x2 = 0 axa este dată de ecuația în vechiul sistem de coordonate x-y-3 = 0 și y2 = 0 ecuația axa x + y-1 = 0. Pornirea unui nou sistem de coordonate 0 * (2, -1) este punctul de intersecție al acestor linii drepte.
Pentru a simplifica percepția diviza procesul de complot pentru 2 etape:
1. Trecerea la un sistem de coordonate cu axele x2 = 0, y2 = 0, ecuațiile date în vechiul sistem de coordonate x-y-3 = 0 și x + y-1 = 0, respectiv.

2. Construcția sistemului obținut în coordonatele graficului.

Versiunea finală a graficului este după cum urmează (a se vedea modul de a construi un grafic.):

Sarcină. Conduce la o ecuație forma canonică a liniei 17x 2 + 12xy + 8y 2-20 = 0.
Exemplul 2 Soluție: xml

Sarcină. Conduc la forma canonică a ecuației de ordinul doi al liniei, folosind teoria formelor pătratice și pentru a determina aspectul. Ecuația curbei de ordinul al doilea, prin extragerea unui pătrat plin redus la forma canonică. Soluție: xml

Sarcină. Reduce ecuatia la forma canonică: 16x 2 - 9Y 2 -64x - 8y = 0 199.
Soluție .Skachat Soluție: xml

Sarcină. Pentru a stabili că fiecare din următoarea ecuație determină hiperbola și găsi coordonatele centrului C, jumătatea de excentricitatea, ecuațiilor asymptotes și directoarea ecuației. Portretiza hiperbola pe desenele menționate trucuri, directoarea și asimptota.
Soluție: Descărcați Soluție: xml

Sarcină. Pentru a stabili că fiecare dintre următoarele ecuații ale unei elipse, și pentru a găsi coordonatele centrului C, jumătatea de excentricitatea, Directoarea ecuației. Zugrăvi o elipsă în desen, indicând axa de simetrie și focarele directricea.
Soluție: Descărcați Soluție: xml