Funcția de putere, proprietăți și graficele sale

Proprietățile funcțiilor de putere și grafice lor

În continuare, considerăm funcția de putere
y (x) = x p.

Funcția de putere cu un exponent egal cu zero, p = 0

Dacă exponent al funcției puterii y = x p este zero, p = 0. funcția de putere este definită pentru orice x ≠ 0 și este o constantă egală cu unitatea:






y = x p = x 0 = 1, x ≠ 0.

Funcția putere cu exponent naturală impar, p = n = 1, 3, 5.

Să considerăm o funcție de putere y = xp = xn cu exponent naturale impar n = 1, 3, 5. Această componentă poate fi scrisă ca: n = 2k + 1, unde k = 0, 1, 2, 3. - nici un număr întreg negativ . Mai jos sunt proprietățile și graficele de astfel de funcții.

Programeaza o funcție de putere y = x n cu indicele impar naturale pentru diferite valori ale exponentului n = 1, 3, 5.

Domeniul definiției: -∞ Setul de valori: -∞ Paritate: impar, y (-x) = - y (x)
Monotonie: crește uniform
Extremele: nr
convexitate:
la -∞ la 0 Punctul de inflexiune: x = 0, y = 0
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
limite:
;
Valori private:
când x = -1,
y (-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k + 1 = -1
când x = 0, y (0) = 0, n = 0
când x = 1, y (1) = 1, n = 1
Funcția de contact:
când n = 1. Funcția este inversul în sine: x = y
când n ≠ 1. rădăcină este o funcție inversă de gradul n.

Funcția putere cu exponent naturală impar, p = n = 2, 4, 6.

Să considerăm o funcție de putere y = x p = x n chiar cu exponent naturale n = 2, 4, 6. Un astfel de indicator poate fi scris ca: n = 2k. unde k = 1, 2, 3. - pozitiv. Proprietățile și grafice ale acestor funcții sunt prezentate mai jos.

Programeaza o funcție de putere y = x n cu exponent naturale chiar și atunci când diferite valori ale exponentului n = 2, 4, 6.

Domeniul definiției: -∞ Setul de valori: 0 ≤ y <∞
Paritate: o chiar, y (-x) = y (x)
monotonie:
la x <0 монотонно убывает
când x> 0 mărește monotonă
Extremele: minimum, x = 0, y = 0
Convexitate: convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
limite:
;
Valori private:
când x = -1. y (-1) = (-1) n ≡ (-1) 2k = 1
când x = 0, y (0) = 0, n = 0
când x = 1, y (1) = 1, n = 1
Funcția de contact:
când n = 2. rădăcina pătrată:
când n ≠ 2. rădăcină de n.

Funcția putere cu exponent negativ, p = n = -1, -2, -3.

Să considerăm o funcție de putere y = x p = x n cu un exponent negativ n = -1, -2, -3. Dacă am pus n = -k. unde k = 1, 2, 3 - natural, poate fi reprezentat ca:

Programeaza o funcție de putere y = x n cu un indice negativ pentru diferite valori ale exponentului n = -1, -2, -3.

index impar, n = -1, -3, -5.

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n impar negativ indice n = -1, -3, -5.

determinarea DOMENIUL: x ≠ 0
Setul de valori: y ≠ 0
Paritate: impar, y (-x) = - y (x)
Monotonie: scade monoton
Extremele: nr
convexitate:
la x <0. выпукла вверх
când x> 0. convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: nr
semneze:
la x <0, y <0
când x> 0, y> 0
limite:
; ; ;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = (-1) n = -1
când x = 1, y (1) = 1, n = 1
Funcția de contact:
când n = -1.
pentru n <–2.

Chiar și index, n = -2, -4, -6.

Mai jos sunt proprietățile funcției y = x n cu indice chiar negativ n = -2, -4, -6.

determinarea DOMENIUL: x ≠ 0
Setul de valori: y> 0
Paritate: o chiar, y (-x) = y (x)
monotonie:
la x <0. монотонно возрастает
când x> 0. scade monoton
Extremele: nr
Convexitate: convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: nr
Contul: y> 0
limite:
; ; ;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = (-1) n = 1
când x = 1, y (1) = 1, n = 1
Funcția de contact:
când n = -2.
pentru n <–2.

Funcția de alimentare cu indicator rațional (fracționată)

Să considerăm o funcție de putere y = x p cu exponent rațional (fractionata). unde n - un număr întreg, m> 1 - pozitiv. În care, n, m nu au divizori comuni.

Numitorul indicelui fracțional - ciudat

Să presupunem că numitorul exponent fractional impar: m = 3, 5, 7. în acest caz, o funcție de p putere x este definit pentru ambele valori pozitive și negative ale argumentului x. Luați în considerare proprietățile acestor funcții exponențiale, unde indicele de p este într-un anumit interval.

Negativ exponent p, <0

Să exponent rațional (cu nui numitor m = 3, 5, 7) este mai mică decât zero.

Grafice de funcții exponențiale cu refracție negativ rațional pentru valori diferite ale exponentul. unde m = 3, 5, 7 - ciudat.

numărătorul Odd, n = -1, -3, -5.

Aici sunt proprietățile funcției de putere y = x p cu indicele negativ rațional. unde n = -1, -3, -5. - un număr întreg impar negativ, m = 3, 5, 7 - număr întreg impar.

determinarea DOMENIUL: x ≠ 0
Setul de valori: y ≠ 0
Paritate: impar, y (-x) = - y (x)
Monotonie: scade monoton
Extremele: nr
convexitate:
la x <0. выпукла вверх
când x> 0. convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: nr
semneze:
la x <0, y <0
când x> 0, y> 0
limite:
; ; ;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = (-1) n = -1
când x = 1, y (1) = 1, n = 1
Funcția de contact:

Chiar și numărătorul, n = -2, -4, -6.

Proprietățile funcției de putere y = x p cu indicele negativ rațional. unde n = -2, -4, -6. - număr întreg negativ, m = 3, 5, 7 - număr întreg impar.

determinarea DOMENIUL: x ≠ 0
Setul de valori: y> 0
Paritate: o chiar, y (-x) = y (x)
monotonie:
la x <0. монотонно возрастает
când x> 0. scade monoton
Extremele: nr
Convexitate: convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: nr
Contul: y> 0
limite:
; ; ;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = (-1) n = 1
când x = 1, y (1) = 1, n = 1
Funcția de contact:

Rata P pozitivă este mai mică decât unu, 0

Graficul funcției de putere cu exponent rațional (0

numărătorul Odd, n = 1, 3, 5.

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un indicator rațional. Suntem în intervalul 0

Domeniul definiției: -∞ Setul de valori: -∞ Paritate: impar, y (-x) = - y (x)
Monotonie: crește uniform
Extremele: nr
convexitate:
la x <0. выпукла вниз
când x> 0. convexe în sus
Punctul de inflexiune: x = 0, y = 0
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
semneze:
la x <0, y <0
când x> 0, y> 0
limite:
;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = -1
când x = 0, y (0) = 0
când x = 1, y (1) = 1
Funcția de contact:

Chiar și numărătorul, n = 2, 4, 6.

Proprietățile funcției de putere y = x p cu un indicator rațional. Suntem în intervalul 0

Domeniul definiției: -∞ Setul de valori: 0 ≤ y <+∞
Paritate: o chiar, y (-x) = y (x)
monotonie:
la x <0. монотонно убывает
când x> 0. monoton
Extremes: minim la x = 0, y = 0
Convexitate: convex în sus când x ≠ 0
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
Sign: dacă x ≠ 0, y> 0
limite:
;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = 1
când x = 0, y (0) = 0
când x = 1, y (1) = 1
Funcția de contact:

Exponent p este mai mare decât unu, p> 1

Programeaza o funcție de putere cu un indicator rațional (p> 1) la diferite valori ale exponentului. unde m = 3, 5, 7 - ciudat.

numărătorul Odd, n = 5, 7, 9.

Proprietățile funcției de putere y = x p cu exponent rațional mai mare decât unul. În cazul în care n = 5, 7, 9 - un număr întreg impar, m = 3, 5, 7 - număr întreg impar.

Domeniul definiției: -∞ Setul de valori: -∞ Paritate: impar, y (-x) = - y (x)
Monotonie: crește uniform
Extremele: nr
convexitate:
la -∞ la 0 Punctul de inflexiune: x = 0, y = 0
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
limite:
;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = -1
când x = 0, y (0) = 0
când x = 1, y (1) = 1
Funcția de contact:

Chiar și numărătorul, n = 4, 6, 8.

Proprietățile funcției de putere y = x p cu exponent rațional mai mare decât unul. În cazul în care n = 4, 6, 8 - un număr întreg, m = 3, 5, 7 - ciudat întreg.

Domeniul definiției: -∞ Setul de valori: 0 ≤ y <∞
Paritate: o chiar, y (-x) = y (x)
monotonie:
la x <0 монотонно убывает
când x> 0 mărește monotonă
Extremes: minim la x = 0, y = 0
Convexitate: convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
limite:
;
Valori private:
când x = -1, y (-1) = 1
când x = 0, y (0) = 0
când x = 1, y (1) = 1
Funcția de contact:

Numitorul indicelui fracționată - chiar

Să presupunem că numitorul fracționată a exponentului este chiar: m = 2, 4, 6. în acest caz, funcția p putere x nu este definit pentru valori negative ale argumentului. Proprietățile sale identice cu proprietățile funcției de putere cu exponent irațional (a se vedea. secțiunea următoare).

Funcția putere cu exponent irațional

Să considerăm un y funcție de putere = x p cu exponent irațional p. Proprietăți astfel de funcții diferă de cele de mai sus, în care acestea nu sunt definite pentru valori negative ale argumentului x. Pentru valori pozitive ale argumentului, proprietățile depinde numai de valoarea exponentul p și nu depind de faptul dacă p este un număr întreg, rațional sau irațional.

Programarea unei y funcție de putere = x p cu indicator irațional pentru diferite valori ale exponentului p.

Funcția de putere cu un exponent negativ p <0

determinare DOMENIU: x> 0
Setul de valori: y> 0
Monotonie: scade monoton
Convexitate: convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: nr
limite :;
Conotația: Când x = 1, y (1) = 1, p = 1

Funcția de putere cu un exponent pozitiv p> 0

Indicele este mai putin de un 0

determinare DOMENIU: x ≥ 0
Setul de valori: y ≥ 0
Monotonie: crește uniform
Convexitate: convexe în sus
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
limite:
înțelesurile private: Când x = 0, y (0) = 0 p = 0.
Când x = 1, y (1) = 1, p = 1

Rate mai mare de un p> 1

determinare DOMENIU: x ≥ 0
Setul de valori: y ≥ 0
Monotonie: crește uniform
Convexitate: convex în jos
Punctul de inflexiune: nu
Punctele de intersecție cu axele de coordonate: x = 0, y = 0
limite:
înțelesurile private: Când x = 0, y (0) = 0 p = 0.
Când x = 1, y (1) = 1, p = 1