Unghiul dintre planurile

Tipul de locuri de muncă: 14
Subiect: Unghiul dintre planurile

In ABCDA_1B_1C_1D_1 regulate partea prismă patrulateră a bazei 4. Marginile laterale sunt egale cu 6 punctul M - CC_1 mid coaste, pe margine BB_1 marcat punctul N. astfel încât BN: NB_1 = 1: 2.

a) În ce plan AMN, ceea ce desparte marginea DD_1?

b) Găsiți unghiul dintre avioane ABC și AMN.

a) planul AMN intersectează o margine punct DD_1 K. în care patru vârfuri ale secțiunii transversale a planului prismei. Secțiunea este un ANMK paralelogram. deoarece fețele opuse ale prismei sunt paralele.

BN = \ frac13BB_1 = 2. Egal KL \ CD paralel, atunci triunghiuri ABN si KLM sunt egale, atunci ML = BN = 2, LC = MC-ML = 3-2 = 1, KD = LC = 1. Apoi KD_1 = 6-1 = 5. Puteți găsi acum raportul KD: KD_1 = 1: 5.

b) F - punct de trecere a CD-ului liniilor și KM. ABC și AMN avioane se intersectează într-o linie dreaptă AF. Unghi \ unghi KHD = \ alpha - unghiul diedru liniar (HD \ făptașul AF, atunci teorema, teorema inversă pe trei perpendicularele, KH \ făptașul AF). Este un unghi ascuțit al unui KHD triunghi dreptunghic. catete KD = 1.

Triunghiuri FKD și similare FMC (MC KD \ paralel), deci FD: FC = KD: MC, decide proporția FD: (FD + 4) = 1: 3, obținem FD = 2. Triunghiul înclinat AFD (\ unghiul D = 90 ^), cu picioare 2 și 4 calcula ipotenuza AF = \ sqrt = 2 \ sqrt 5, DH = AD \ cdot FD: AF = \ frac = \ frac4.

Unghiulară triunghi KHD găsi tg \ alpha = \ frac = \ frac4, prin urmare, unghiul dorit \ alpha = arctg \ frac4.

Tipul de locuri de muncă: 14
Subiect: Unghiul dintre planurile

Având în vedere dreptul de piramida pătrat cu o bază laterală KMNPQ MNPQ. egal cu 6 și muchia laterală 3 \ sqrt.

a) construi secțiune a piramidei cu un plan care trece prin linia dreaptă paralelă cu MP diagonală NF. în cazul în care punctul F - rib la mijlocul MK.

b) Găsiți unghiul dintre planul secțiunii și KMP.

a) Fie KO - înălțimea piramidei, F - mijlocul lui MK; FE \ paralel MP (PKM în plan). Deoarece FE - mijloc linia \ triunghi PKM, FE = \ frac2.

Am construit planul de secțiune piramida care trece prin și paralele NF MP. și anume planul NFE. L - punctul de intersecție EF și KO. Deoarece punctele L și N aparțin secțiunii transversale dorite și se află în KQN avionul. T. se obține ca punctul de intersecție al LN și KQ. De asemenea, este punctul de intersecție al secțiunii transversale dorită și coastele KQ. NETF - secțiunea dorită.

b) Planurile de NFE și MPK se intersectează într-o linie dreaptă FE. Prin urmare, unghiul dintre planele este colț diedru liniar Ofen. Noi construi: LO \ făptașul MP, MP \ paralel FE, prin urmare, LO \ făptașul FE; \ Triangle NFE - isoscel (NE = NF ca mediana corespunzătoare KPN și KMN triunghiuri egale). NL - mediana acestuia (EL = LF, deoarece PO = OM, și \ triunghi KEF \ sim \ triunghi KPM). Prin urmare, NL \ făptașul FE și \ unghiul ONL - căutat.

ON = \ frac12QN = \ frac12MN \ sqrt 2 = 3 \ sqrt 2.

\ Triangle KON - dreptunghiular.

Pitagora picior KO este KO = \ sqrt.

OL = \ frac12KO = \ frac12 \ sqrt = \ frac12 \ sqrt = \ frac12 \ sqrt = \ frac32 \ sqrt = \ frac32 \ cdot 2 \ sqrt 6 = 3 \ sqrt 6.

Tipul de locuri de muncă: 14
Subiect: Unghiul dintre planurile

ABCDA_B_C_D_ prisme drepte de bază este un romb cu un unghi B. obtuz egală cu 120 ^ \ Circ. Toate marginile prismei sunt 10. Punctele P și K - CC_ medii și CD-uri, respectiv marginile.

a) Să se arate că PK și PB_ perpendicular.

b) Găsiți unghiul dintre planurile și PKB_ C_B_B.

a) Noi folosim metoda de coordonate. Găsiți produsul scalar al vectorilor \ vec și \ vec> și apoi cosinusul unghiului dintre acești vectori. Trimite axa Oy a lungul CD. axa Oz a lungul CC_, și perp CD-ul axa Ox \. C - originea.

Apoi, C (0, 0, 0); C_ (0; 0; 10); P (0, 0, 5); K (0, 5, 0); B (BC \ cos 30 ^ \ Circ BC \ păcatul 30 ^ \ Circ; 0), adică, B (5 \ sqrt; 5; 0) B_ (5 \ sqrt; 5; 10).

Să presupunem că unghiul dintre \ vec și \ vec> este \ alpha.

\ Cos \ alpha = 0, atunci, \ vec \ făptașul \ vec> și direct PK și PB_ perpendicular.

b) unghiul dintre planele este egal cu unghiul dintre vectorii nenuli, perpendicular pe aceste planuri (sau, atunci când un unghi obtuz adiacent unui colț al acestuia). Astfel de vectori sunt denumiți în mod normal la planul. Noi le găsim.

Să \ vec> = \ PKB_ perpendicular pe planul. L-am găsit, sistemul de gândire \ începe \ vec> \ făptașul \ vec, \\ \ vec> \ făptașul \ vec>. \ end

Să \ vec> = \ C_B_B perpendicular pe planul. Găsiți-l, sistemul de gândire \ începe \ vec> \ făptașul \ vec>, \\ \ vec> \ făptașul \ vec. \ end

\ Începe 0x + 0Y + 10z = 0, 5 \\ \ sqrtx + 5y + 0Z = 0; \ end

Găsim cosinusul unghiului dorit \ beta (este egal cu cosinusul unghiului dintre modulul \ vec> și \ vec>).