Distribuția variabilă aleatoare continuă

variabilă aleatoare se numește o variabilă care poate lua aceste sau alte valori în funcție de diferite circumstanțe.

Valorile aleatoare sunt împărțite în discrete (sau discontinue) și continuă.

O variabilă aleatoare se numește continuă. în cazul în care poate avea orice valoare din orice perioadă limitată sau nelimitată. Pentru variabila aleatoare continuă este imposibil să se specifice toate valorile posibile, prin urmare, aceste valori indică intervale care sunt asociate cu anumite probabilități.

Exemple de variabile aleatoare continue pot fi: părți diametrul apelat la o dimensiune predeterminată, înălțime, la distanță etc. zborului proiectilului.

funcție variabilă aleatoare (ambele discrete și continuă) sau o funcție integrată este o funcție care determină probabilitatea ca valoarea variabila aleatoare X este mai mică sau egală cu valoarea x limită.

Densitate veroyatnostif variabilă aleatoare continuă (x) este derivata funcției sale de distribuție:

Cunoscând funcția de densitate, este posibil să se găsească probabilitatea ca valoarea unei variabile continue aparține intervalului închis [a; b]:

probabilitatea ca continuu variabila aleatoare X ia orice valoare în intervalul [a; b], este egală cu o anumită parte integrantă a densității de probabilitate în intervalul de la a la b:

obținut din aceasta că

Integrala în această ecuație exprimă probabilitatea ca o variabilă aleatoare ia orice valoare din intervalul. Dar acest eveniment este semnificativă, și, prin urmare, probabilitatea este egală cu unu.

Exemplul 1. probabilitate Densitatea continuă a variabila aleatoare X este definită de ecuația, în care. A. Găsiți probabilitate coeficient care continuă variabila aleatoare X ia orice valoare în intervalul] 0, 5 [Funcția de distribuție continuă a unei variabile aleatoare X.

Decizie. Prin ipoteză, obținem egalitatea

În consecință, în cazul în care. Astfel,

Acum ne găsim probabilitatea ca continuu variabila aleatoare X are nici o valoare în intervalul] 0, 5 [:

Acum vom obține funcția de distribuție a variabilei aleatoare:

Exemplul 2. Găsiți densitatea de probabilitate a unei variabile aleatoare X. continuă care primește doar valori non-negative și funcția de distribuție.

Decizie. Prin definiție, obținem densitatea de probabilitate

când și F (x) pentru aceste valori ale lui x este constantă (zero).

Graficul densității de probabilitate variabilă aleatoare continuă numită curba de distribuție (Fig. Mai jos).

forme pătrate (prezentate clocit) delimitate de curba, linia trasată de la punctele a și b perpendicular pe axa x și axa x. reprezintă grafic probabilitatea ca valoarea continua variabila aleatoare X este în intervalul de la a la b.

Din aceasta se afișează următoarele proprietăți ale funcției de densitate de probabilitate:

• valoarea funcției f (x) număr pozitiv care este în afara existenței distribuției este egală cu zero;
• zona figura care limitează graficul funcției f (x) și axa x. este o singură unitate :.

distribuție variabilă aleatoare continuă poate fi caracterizată prin valorile medii și variațiile indicilor și a altor indici.

Media aritmetică a tuturor posibile variabila aleatoare continuă numită așteptările sale. sau semnificat.

Probabilitatea Așteptarea H. Densitatea continuă a unei variabile aleatoare, care este funcția f (x), se constată ca valoarea integralei

în cazul în care converge absolut.

Varianța este valoarea integralei

în cazul în care converge.

Deviația standard a variabilei aleatoare continuă definită ca media aritmetică a rădăcinii pătrate a varianței medie.

Exemplul 3 este dată variabilă aleatoare continuă. Densitatea de probabilitate și la valorile x rămase. Găsiți medie și variația acestuia.

Decizie. Mai întâi definim un parametru. Împărțind intervalul de integrare în părți, vom obține

deoarece celelalte două integralele este egal cu zero, din cauza densității de probabilitate care dispare în aceste intervale. Prin urmare,

Când vom găsi speranța matematică necesară a unei variabile aleatoare:

(Limitele de integrare sunt 0 și 10 sunt montate pe aceleași motive ca și atunci când parametrul). Calculăm varianța la = 5 și f (x) = 0,1:

distribuție uniformă variabilă aleatoare continuă este distribuția în cadrul căreia valoarea variabilei aleatoare din două părți și sunt delimitate în limitele intervalului au aceeași probabilitate. Acest lucru înseamnă că, în acest interval, densitatea de probabilitate este constantă.

Astfel, o distribuție uniformă a densității de probabilitate este dată de

Funcția de distribuție a variabilei aleatoare continuă, cu o distribuție uniformă este de forma

Are o distribuție uniformă:

• medie (așteptare);
• dispersie;
• abaterea standard;
• veroyanost că valoarea va fi o variabilă aleatoare continuă într-un interval predeterminat, în care.

Exemplul 4 Observatii au arătat că greutatea cutiei destinate transportului de legume, este o variabilă aleatoare distribuită uniform în intervalul 985-1025 g Randomly selectat un sertar. Găsiți caracteristicile distribuite uniform cantități sluchanoy în condiții care vor fi specificate în decizie.

Decizie. Considerăm probabilitatea ca greutatea cutiei va fi în intervalul 995-1005

Am găsit valoarea medie a unei variabile continue:

Am găsit abaterea standard:

Definiți ce procentaj din greutate cutii situate la o distanță de o deviație standard de la valoarea medie (adică, în intervalul ..):

Distribuția normală a variabilei aleatoare continuă este o funcție de densitate de distribuție, care este:

unde x - valoarea de valori în schimbare - media - deviația standard, e = 2,71828. - logaritm natural de bază = 3,1416.

Figura de mai jos prezintă funcția de densitate a unui grafic de distribuție normală se obține cu o mostră de date în calcule pachetul software STATISTICA. Acesta coloane histogramă reprezintă valorile eșantionului, distribuția care este aproape (sau, așa cum se spune în statistica difera de neesențial) la funcția de densitate a distribuției normale grafice reale care reprezintă curba de culoare roșie.

Pentru a mări imaginea aveți posibilitatea să faceți clic pe butonul din stânga al mouse-ului.

funcția de densitate a distribuției normale

• pentru toate valorile densității argumentul funcției este pozitiv;
• dacă argumentul tinde la infinit, atunci funcția de densitate Streit la zero;
• Funcția de densitate este simetrică în raport cu valorile medii;
• cea mai mare valoare a funcției de densitate - a valorilor medii;
• Curba funcție de densitate este convexă și concavă în intervalul porțiunii de repaus;
• modul și de distribuție mediană normală egală cu valoarea medie;
• distribuție normală este simetrică, deci coeficientul de asimetrie A = 0.

Modificări în mișcare curba medie a funcției normale de densitate de distribuție în direcția axei Ox. Dacă crește, curba se deplasează spre dreapta, în cazul în care a redus, la stânga.

Dacă schimbați deviația standard, înălțimea schimbarea de sus a curbei. Prin creșterea deviației standard a vârfului este situată deasupra curbei, o scădere - inferior.

Cumulativă a distribuției normale:

Standardizata sau normalizată numită distribuție normală, a cărei valoare medie și deviația standard.

Funcția de densitate a distribuției standardizate normală:

Cumulativă a distribuției normale standardizate:

Figura de mai jos prezintă funcția standardizată cumulativă de distribuție normală, care este un grafic al calculelor obținute cu o mostră de date din pachetul software STATISTICA. De fapt grafic curba reprezintă culoarea roșie, iar valorile eșantioanelor sunt aproape de ea.

Pentru a mări imaginea aveți posibilitatea să faceți clic pe butonul din stânga al mouse-ului.

Standardizarea valoare aleatoare semnifică o tranziție de la unitățile inițiale utilizate în lucrarea unităților standardizate. Standardizarea se realizează cu ajutorul formulei

În practică, toate valorile posibile ale unei variabile aleatoare nu este cunoscută de multe ori, și, prin urmare, valorile medii și abaterea standard nu poate fi determinată cu precizie. Acestea sunt înlocuite cu media observațiilor și un standard de deviere s. Cantitatea z exprimă abaterea valorilor variabile aleatoare din media deviațiilor standard în măsurarea.

Practic, orice manual de statistici în anexe la sfârșitul cărții puteți găsi un tabel de valori ale densității în funcție de distribuția normală standardizate și caracteristici integrate. Pentru a utiliza aceste valori, trebuie să se calculeze mărimea variabilă valoarea standardizată. funcție

pentru a determina probabilitatea ca o valoare Z standardizată nu este mai mică decât -z și nu mai mult de + z. în cazul în care z - arbitrar valoarea selectată standardizate variabilă aleatoare.

Exemplul 5. Enterprise produce părți ale căror serviciu distribuite în mod normal, cu o medie de 1000 și o deviație standard de 200 ore.

Pentru o piese selectate aleatoriu calcula probabilitatea ca durata sa va fi nici puțin 900 de ore. Pentru a calcula această probabilitate, folosind tabelul, variabila aleatoare trebuie să standardizeze mai întâi. Apoi, puteți utiliza valoarea corespunzătoare a tabelelor de funcții integrale. obținem:

Deci, probabilitatea ca durata de viață a elementelor va fi cel puțin 900 de ore este de 69%.