Număr de serie

Examinarea pentru departamentul de corespondență

Kudryavtsev VA Demidovich BP scurt curs de matematici superioare. - ediția a 5. stereotip. - M. Nauka, 1978. - 632s.

Executarea lucrărilor ar trebui să fie strict în funcție de program. Fiecare student își desfășoară activitatea în opțiunea de control, al căror număr coincide cu numărul de serie în jurnalul de grup. Soluția de rezolvare a problemelor pe care trebuie să furnizeze în scris, pe foi separate (format A4, sub formă de legare). Pentru a lua locul de muncă posibil în presa scrisă și în scris. efectuarea KR studentul trebuie să rescrie starea sarcinii, a scrie o soluție detaliată prin furnizarea unui răspuns. În cazul în care este necesar pentru a da o scurtă explicație a cursului soluției.

„Seria numerică și funcțională“

seria numerică. indicii suficiente de convergență

N suma membrilor seriei primul număr notat Sn și numita sumă parțială n-lea:

Seria se numește convergentă. în cazul în care n-lea sumă parțială Sn crește pe termen nelimitat n se apropie de o limită finită, adică în cazul în care. Numărul S se numește suma seriei. În cazul în care suma parțială n-lea a seriei atunci când nu sa angajat la o limită finită, atunci seria se numește divergente.

Numărul. compus din membri ai oricărei progresie geometrică în scădere este convergent și are o sumă.

Numărul. numit armonic. diverge.

Testul necesare pentru realizarea convergenței. În cazul în care seria converge, atunci. și anume sub limita din numărul total de membri convergente este zero.

Astfel, în cazul în care. atunci seria este divergenta.

Enumerăm cele mai importante semne de convergență și de divergență de serie cu termeni pozitivi.

Primul semn al comparației. Să fie dat două rânduri

în care fiecare membru al seriei (1) nu depășește numărul corespunzător de membri (2), adică . Apoi, dacă seria (2), convergența seriilor (1); Dacă intervalul debit (1), varianța și seria (2).

Această caracteristică rămâne în vigoare în cazul în care inegalitatea nu deține pentru toți n. ci numai pornind de la un anumit număr n = N.

A doua caracteristică comparație. În cazul în care există o limită finită de zero. seria și converg sau diverg simultan.

test de rădăcină. În cazul în care numărul de

acolo. atunci seria converge. diverge.

testul D'Alembert lui. În cazul în care există un număr. atunci seria converge. diverge.

Cauchy de testare integrală. Dacă f (x) cu - o funcție continuă pozitivă și monoton descrescător, atunci seria. care converge sau divergenta, în funcție de faptul dacă convergentă sau divergentă integrală.

Luați în considerare acum seria a cărei termeni au semne alternative, și anume, serii de forma. în cazul în care.

Pentru convergența unei serii alternante (un semn de Leibniz). Seria alternarea converge în cazul în care valorile absolute ale membrilor săi sunt în scădere monoton, iar termenul general tinde la zero. Aceasta este, în cazul în care următoarele două condiții: 1) și 2).

Ia n-lea sumă parțială a unei serii convergente alternativ, pentru care semnul Leibniz:

Să - n-lea restul seriei. Ea poate fi exprimată ca diferența dintre suma dintre seria S și suma parțială a n-Sn. și anume . Este ușor de văzut că

Valoarea estimată prin utilizarea inegalității.

Să luăm acum în considerare unele proprietăți ale seriei alternativ (adică un rânduri alternante și rânduri de alternanței aleatorie a semnelor membrilor săi).

Seria Alternarea converge în cazul în care seria.

În acest caz, seria originală se numește absolut convergentă.

Seria Convergent este numit convergenta. în cazul în care seria este divergenta.

Exemplul 1. Pentru a investiga convergența

Decizie. Acest număr este alcătuit din membri ai progresiei geometrice infinit, și, prin urmare, converge. Gasim sum. Aici. (Numitorul progresie). Prin urmare,

Exemplul 2. Testul seria converge.

Decizie. Acest număr este derivat din armonică aruncând primii zece membri. Prin urmare, diverge.

Exemplul 3. Pentru a investiga seria converge.

Decizie. Din moment. și anume . apoi diverge seria (nu deține criteriul de convergență necesar).

Exemplul 4. Pentru a investiga convergența seriilor.

Decizie. Membrii din seria mai puțin decât termenii corespunzători ai seriei. și anume serii. Dar ultima serie converge ca o progresie geometrică infinit descrescătoare. Prin urmare, seria sursă converge.

Exemplul 5. Pentru a investiga seria converge.

Decizie. Comparabil cu numărul seriei armonice, care. . Prin urmare, această serie diverge.

Exemplul 6 Pentru a investiga seria converge.

Decizie. Este convenabil să se aplice testul de rădăcină de atunci. iar limita ultimei fracțiune este simplă:

Din moment. atunci seria converge.

Exemplul 7. Pentru a investiga convergența seriilor.

Decizie. Se aplică testul d'Alembert lui; Avem. . ; așa

Din moment. atunci seria este divergenta.

Exemplul 8. Pentru a investiga convergența

Decizie. Avem. . . . - seria converge.